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第６章 断面力と応力

6.1 断面力

　構造物に外力（荷重と反力）が作用し、
　静止している状態にあるとき、
　これらの力はつり合い状態にあります。

　この力のつり合いは、構造物全体だけでなく、
　部材の任意の部分を仮想的に切断した場合にも成立しなければなりません。
　部材をある断面で仮想切断した場合、
　力のつり合いが成立するためには、
　仮想切断した２つの部材の各々に作用している外力と等しいだけの力が、
　切断された各々の断面に生じていなければ静止しません。
　外力の作用に応じて断面内に生じる力を断面力と呼びます。

　つまり、断面力は外力によって置き換えられたもので、
　断面に垂直に、断面の図心をとおって作用する軸方向力Ｎ、
　断面に平行に作用するせん断力Ｓ
　及びはりの面に作用する曲げモーメントＭに分解して考えると理解しやすい。
　断面力は、外力によって置き換えられたものですから、
　当然、外力と平衡しています。

　断面力は、力のつり合い条件式から決定することができます。
　仮想的に切断された断面の左側部分の右端の切断面に生じている断面力（図ｂ）と、
　断面の右側部分の左端の切断面に生じている断面力（図ｃ）とは、
　作用・反作用の関係により互いに向きが反対で、
　大きさが等しい力となります。

　例えば、仮想切断された断面左側部分に生じている軸方向力Ｎ₂と、
　断面右側部分の切断面に生じている軸方向力Ｎ₁は、
　向きが逆で大きさが等しいので、切断面どうしをくっつけると、
　切断面に生じている軸方向の力の合計は０になります。

　つまり軸方向の力は作用していないことになります。
　せん断力や曲げモーメントも同様で、
　切断面どうしをくっつけると、内力の合計は０になります。
　くっついた切断面には、切り離される前の状態と同じように、
　何も生じていないことになります。

6.1.1　断面力の正負の向き

　構造力学で使われる断面力の正の向きは、
　座標の正の向きではないので注意が必要です。

　切断面における作用・反作用の関係が分かりやすいように、
　左側の切断面と右側の切断面とでは、
　正の向きを逆に定義しています。

　軸方向力の正の向きは、
　はりが引張を受ける向きです。
　せん断力の正の向きは、
　左側部分の切断面に生じている内力は下向きが正、
　右側部分の切断面に生じている内力は、上向きが正です。

　つまり、その断面に生じたせん断力Ｓが、
　その作用している部分を時計回りの方向に回転させるように生じているとき、
　この１対のせん断力Ｓを正と約束しています。
　曲げモーメントの正の向きは、はりの下側が引張側となる向きが正としています。

6.1.2　変形の正の向き

　断面力の正の向きと変形の正の向きとの対応は、
　切断位置に微小要素を介して、
　３つの部分に切り分けて考えると分かりやすい。

　真ん中の微小部分は、
　正の軸方向力を受けると、左右に引っ張られて伸びます。
　正のせん断力を受けると、
　左の面は持ち上げられ、右の面は下げられてせん断変形します。
　正の曲げモーメントを受けると上側が圧縮され、下側が引っ張られます。

6.2 内力の種類

6.2.1　軸方向力（引張力,圧縮力）　Ｎ

　軸方向力は、部材軸方向に伸びたり、縮んだりする変形に抵抗する力で、Ｎで表します。
　断面が離れたり重なったりしないように抵抗する力で、
　断面に垂直に生じ、部材は引張りあるいは圧縮を受けます。

6.2.2　せん断力　Ｓ

　せん断力は、部材軸と垂直方向にずれる変形に抵抗する力で、Ｓで表します。
　断面にずれが生じないように抵抗する力で、断面に平行に生じ、部材はずり変形を受けます。

6.2.3　曲げモーメント　Ｍ

　曲げモーメントは、断面が曲げ変形しないように抵抗する力で、Ｍで表す。

6.3 はりの応力

6.3.1 はりの曲げ応力

　図に示すような２個の外力Ｐが作用するはりは、
　中央の部分には、せん断力が生じません。

　中央部分には、Ｐ・aに等しい一定のモーメントが生じています。
　このようにモーメントが一定の状態を純粋曲げといいます。

　純粋曲げによる、はりの中央部分での断面に生じる応力を求めてみましょう。
　曲げ変形の結果、微小要素ＡＢＣＤがＡ´Ｂ´Ｃ´Ｄ´に変形したとします。
　この場合、はりの下側部分の繊維は、
　引張り状態［ひずみは正（伸び）］におかれ、
　上側部分の繊維は圧縮状態［ひずみは負（縮み）］におかれます。

　そのためはりの上側と下側の中間のどこかで、
　繊維の長さが変形前と変わらない面が存在します。
　図のn-nで示した曲面は、
　はりの中立面（ｘｚ面）と呼ばれ、
　はりの横断面（ｙｚ面）とこの中立面（ｘｚ面）との交わりを中立軸といいます。

　中立面n-nの曲線を曲率半径ρ（ロー）の円曲線とみなし、
　Ａ´Ｂ´とＣ´Ｄ´の延長線のなす角をdθとすると、
　円弧dSと中心角の幾何学的関係から、ds＝ρdθ≒dxとなり、

　ρｄθ≒dx　より　1/ρ＝dθ/dx　という関係が得られます。

　そこで、中立面n-nよりyなる位置にある赤線部の長さ（ρ＋y）dθから、
　変形前の赤線部の長さdxを減じると、伸びλは、

　λ＝（ρ＋y）dθ−dx＝ydθ　と表せます。

　これより、赤線部の垂直ひずみε_xは、
　ε_x＝λ/dx＝ydθ/dx＝y/ρ＝κy　となります。
　　[ρ(ロー)：曲率半径　κ＝１/ρ（カッパ）：曲率）]

　ひずみを表す式ε_xは、
　材料の性質には無関係であり、
　はりの幾何学的条件から得られます。

　すなわち、はりの材料がどのような形の応力−ひずみ線図であっても、
　この式は成立します。
　また、弾性材料のはりは、
　フックの法則によりσ＝Ｅεとなり、

　ε_x＝ydθ/dx＝y/ρ＝κyの関係を代入すると、

　σ_x＝κEy　となります。
　この垂直応力σ_xを曲げ応力という。

　はりの横断面（ｙｚ面）に生じる曲げ応力σ_xは、
　中立軸からの距離yに比例して変化します。
　中立軸の下側では引張応力、上側では、圧縮応力です。
　曲げ応力の中立軸に関するモーメントは、
　外力によるモーメントＭはつり合っているため等しくなります。

　中立軸からyの距離にある微小面積をｄＡとすると、
　この面積に働く内力はσ_xｄＡとなります。
　この断面には軸方向力は生じていないから、
　断面全体のσ_xｄＡの積分値は０でなければなりません。

　したがって、 ∫σ_x ｄＡ＝∫κＥyｄＡ＝０　となります。
　曲率κとヤング率（縦弾性係数）Ｅは定数だから、０となるためには、

∫ydＡ＝０　が成立します。

　この式は、中立軸に関する断面１次モーメントが０であることを示しています。
　つまり中立軸は、断面の図心をとおることが分かります。

　また、断面の図心をはりの長手方向につないだ線を軸線という。
　σ_xｄＡの中立軸に関するモーメントは、
　σ_x yｄＡとなり、これは、内力によるモーメントです。
　断面全体の積分値は、はりがつり合って静止している限り、
　曲げモーメントと外力のモーメントＭと等しくなります。したがって、

　Ｍ＝∫σ_x yｄＡ＝κＥ∫y²dＡ＝κＥＩ

　ここで、I＝∫y²dＡは、中立軸に関する断面２次モーメントです。
　上の式を変形すると、

　κ＝1/ρ＝Ｍ/ＥＩ

　となり、はりの長手方向の軸線の曲率は、
　曲げモーメントＭに比例し、はりの曲げ剛性（ＥＩ）に反比例します。

　σ_x＝κＥy　⇒ κ＝σ_x/Ｅy と　κ＝1/ρ＝Ｍ/ＥＩ　を組み合わせると、
　σ_x＝Ｍｙ/I となります。

　この式の曲げモーメントＭは、
　はりの上側に圧縮を引き起こすときには正です。
　はりの引張り、圧縮応力の最大値は、
　中立軸から最も離れた外表面で生じます。

　はりの横断面（ｙｚ面）に生じる曲げ応力σ_xは、
　純粋曲げ、すなわち断面にはせん断力が生じない場合に対してのものです。

　一般的に、はりには、外力の作用によりそれに抵抗するため、
　内力として曲げモーメントと同時にせん断力も生じます。
　純粋曲げの状態にはならないのが普通です。
　せん断力による変形は、断面を湾曲させ、
　曲がる前に平面であった断面も曲がった後では、平面でなくなります。
　厳密にいえば平面保持は成立しません。

　しかし、せん断力が同時に生じる場合でも、
　曲げ応力σ_xの値のみを用いても実用上の精度は、十分保たれことが分かっています。

6.3.2 はりのせん断応力

　外力から置き換えられた内力は、
　部材軸に垂直方向のせん断力Ｓが生じることは分かりました。

　実際、はりに荷重が作用すると、
　はりの軸に平行（水平）及び垂直（鉛直）な面に沿って、
　滑りを起そうとする２種のせん断力が生じます。

　今、図のように単に２本の部材を重ねただけのはりに、
　鉛直の荷重を作用させると、たわみを生じ、はりの両端が段状になります。
　板と板との間が多少水平方向にずれます。
　板がずれるということは、
　そこに何らかの力が働いていなければなりません。
　すなわち、ずれた面の上下に各々反対方向の力が生じていると考えられます。
　このことは、せん断力が働いていることを意味します。

　このように、はりは、鉛直の荷重が作用した場合でも、
　はり内部には、軸に水平のせん断力が生じます。
　ある方向にせん断力が生じるときは、
　必ずこれと直交する方向にもせん断力が存在します。
　しかもそれらの大きさは等しいことが想定されます。

　次に、これら２種（水平・垂直）のせん断応力の関係について調べてみましょう。

　せん断力を理解するために、
　はり内部に小さい立方体要素を考えます。
　上の面にせん断応力τが分布していると仮定します。
　この要素に垂直応力が生じていなければ、
　要素を水平方向につり合わせるためには、
　下の面にも大きさが等しく、反対方向にせん断応力が生じているはずです。
　要素の上下の面に生じているせん断応力は、モーメントをつくります。

　これは立方体要素の鉛直な側面に生じるせん断応力がつくるモーメントによって、つり合わされるはずです。
　立方体要素が平衡状態にあれば、
　鉛直側面上のせん断応力もまたτに等しくなければなりません。

　したがって、一般的に部材の要素に生じているせん断応力は、
　大きさが等しく、反対向きに一対として起こり、
　また、必ず相互に直交する方向にも存在することが分かります。

　続いて、せん断応力の分布について考えてみましょう。

　今、幅b、高さhの長方形断面のはりを考えます。
　このはりに対して、せん断応力τはせん断力Ｓに平行、
　すなわち軸に垂直な面（ｙｚ面）に平行であると仮定するのが自然です。

　次の仮定として、せん断応力の分布は、
　はりの幅ｂ全面にわたって一様であるとします。
　これら２つの仮定を利用すると、
　軸に垂直な面（ｙｚ面）に働くせん断応力の分布を決定することができます。

　そこで、はり内部に微小直方体を２つの隣り合う断面と、
　中立面に平行な２つの平面によって切り出します。
　先ほどの仮定より、この直方体の軸に垂直な面（yz面）には、
　鉛直なせん断応力τが一様に分布しています。
　また、水平な各層（ｘｚ面）の間に働く水平せん断応力が存在します。

　直方体要素が平衡状態にあれば、
　水平なせん断応力と鉛直なせん断応力が等しい。
　このことから微小直方体が、はりの上端面あるいは下端面に位置している場合、
　外表面は自由境界面であるため、せん断応力が存在しません。

　このことは、先に２本の部材を重ねたはりに鉛直荷重を作用させた場合、
　板と板の間が水平方向にずれる、
　すなわち、ずれ面の上下に力が生じています。
　しかし、はりの外表面には、ずれる面がないため、せん断応力は生じません。
　そのため、水平なせん断応力は０でなくてはなりません。
　したがって、鉛直なせん断応力τもまた、はりの上面及び下面では０でなくてはなりません。

　今、断面の任意の点において、
　鉛直せん断応力は水平せん断応力に大きさが等しいことは示されました。

　次にこの応力を求めてみましょう。

　はりの中から長方形の部分pnn₁ p₁を考えます。
　この長方形の２辺pnとn₁ p₁とは微小距離dxだけ離れ、両辺ともはりの軸xに対して垂直であるとします。
　例えば、図のような片持ちばりの先端に、
　荷重Ｐが作用しているような場合の曲げモーメントは、
　直線的に変化し、自由端では０、固定端で最大となります。

　このように一般的に距離dx離れると曲げモーメントは変化します。
　また、はりの外表面にはせん断力は存在しないので、
　ｎｎ₁面の水平せん断応力は０です。
　この長方形pnn₁ p₁の部分に対して、つり合い条件からpnn₁ p₁に働く力は、
　pnに働く垂直応力とせん断応力、n₁ p₁に働く垂直応力とせん断応力、
　pp₁に働くせん断応力があります。

　pp₁の面に働く水平せん断応力を求めましょう。
　長方形pnn₁ p₁のつり合いを考えます。
　断面mnと断面m₁n₁の曲げモーメントをそれぞれＭ、Ｍ+ｄＭで表します。
　この要素の左側の端面の微小面積要素ｄＡに働く垂直力は、

　σ_ｘdＡ＝Ｍy・ｄＡ/Ｉ　となり、
　これらの微小な力の要素を面pn全体について加え合わせると、

となります。

　同様にして、右側の端面に働く垂直力の総和は、

（dＭ/dＸ＝Ｓについては、後述します。）

　この要素の上面に働く水平せん断力は、τbdxです。
　したがって、水平方向のつり合い条件より、

　この方程式の中の積分部分は、
　断面の影をつけた部分の中立軸に関する断面１次モーメントを表しています。
　断面１次モーメントをＱとすれば、

　τ＝ＳＱ/Iｂ　となります。

　せん断力Ｓは、１つの断面においては一定値をとりますが、
　断面の位置により変化します。
　これに応じて、せん断応力τも変化することになります。
　せん断応力の分布は、上に求めた式τ＝ＳＱ/Iｂより、
　Ｓ、Ｉ及びｂは定数であるので、

　の値によって変化することが分かります。
　Ｑが最大になるのは、y₁＝０のときで、
　また、Ｑが最小値０になるのはy₁＝h/２のときであることが分かります。
　したがって、はりの外表面にはせん断応力が存在しません。

　今、図のような長方形断面の場合、ｂ＝定数、Ｉ＝ｂh³/１２であるので、せん断応力τは次のようになります。

　せん断力τは、y₁＝±h/２（はりの外表面）で０となり、
　y₁＝０（中立軸）で最大値 ３Ｓ/２bh＝３Ｓ/２Ａ となります。
　ここで、Ａは断面積でｂhです。
　これより、中立軸の最大せん断応力は、
　断面にせん断応力が一様に分布すると仮定した場合の
　平均せん断応力Ｓ/Ａの１．５倍となります。

　このことは、後に説明するはりの変形状態を考える上で重要なことです。
　せん断応力τは、はりの上面から下面まで放物線上に変化するので、
　せん断ひずみγ＝τ/Ｇも同様な変化をします。

　したがって、はじめ平面であったはりの断面は、図のようにＳ字型に湾曲します。
　すなわち、せん断応力の存在は、
　はりの平面保持の仮定は成立しません。
　この湾曲は、中立軸において最大のせん断ひずみを持ちます。
　はりの外表面ではせん断応力が生じないため、
　せん断ひずみは０となります。
　しかし、せん断力が同時に生じる場合でも、
　曲げ応力の値は、せん断応力の値に比べ卓越していますから、
　曲げ応力の算定には、σ_x＝Ｍ・y/Ｉのみを用いることに実用上問題はありません。

【曲げ応力とせん断応力の比較】

6.3.3 はりのたわみに及ぼすせん断力の影響

　一般的なはりのせん断力によるたわみは、
　曲げモーメントによるたわみに比べ小さいので、
　曲げ変形のみを考慮しています。

ｄ²ｙ/dx²＝−Ｍ/ＥＩ　、ｄ⁴ｙ(dx⁴＝q/ＥＩ

　たわみ曲線の微分方程式は、はりの曲げ変形のみを考慮したものです。
　しかし、長さlが短く高さhが大きい、すなわちh/lが約１/５以上の場合には、
　せん断力によるたわみの影響は無視することはできません。

　つまり、図のような片持ちばりのはりの長さを縮めていくと、
　縮めた分だけ曲げモーメントの値は減りますが、
　せん断力の値は変わりません。
　その結果、σ_mとσ_Sの比率が変わり、σ_Sの占める割合が大きくなります。

　ここでは、一般的な静定ばりと不静定ばりにおいて、
　曲げモーメントによるたわみ量とせん断力によるたわみ量が、
　どのようになるかを調べてみましょう。

　(1)　静定ばりの場合のせん断力の影響

　はりのたわみｙは、曲げモーメントによるたわみy_bとせん断力によるたわみy_sの和です。つまり、

　　　　　　ｙ＝y_b＋y_s

　で表せます。
　せん断力は、はりの変形とは無関係につり合い条件式より求めることができます。
　したがって、曲げモーメントによるたわみとせん断力によるたわみを
　重ね合わせの原理で加えればよい。

　せん断力のみによるはりのたわみ曲線y_sの傾斜は、
　近似的には、中立軸におけるひずみに等しいものとして考えています。
　すると、次の式が成立します。

　dy_s/dx＝γ　及び　τ＝γＧ

　γ：せん断ひずみ　　Ｇ：せん断弾性係数
　τ：せん断応力　　　Ｓ：せん断力
　Ａ：はりの断面積　　θ_S：せん断によるたわみ角

　また、τ＝αＳ/Ａ
　ここで、Ｓ/Ａは平均せん断応力、
　αは、重心における最大せん断応力と平均せん断応力の比です。
　長方形断面では、３/２、円形断面では４/３、
　Ｉ型断面では、Ａ/Ａ_w（Ａ_wは、ウェブ部分の断面積）です。
　ＧＡ/αをはりのせん断剛性といいます。
　　　dy_s/dx＝τ/Ｇ　、τ＝αＳ/Ａより、
　　　dy_s/dx＝αＳ/ＧＡ　が成立し、

　一方、曲げモーメントによるたわみy_bは、
　　ｄ² y_b/dx²＝−Ｍ/ＥＩ　ですから、

　となります。したがって、全たわみyは、

　となります。

【例題６−２】

　等分布荷重qが載荷されている不静定ばりの中央点Ｃの曲げモーメントによるたわみ及びせん断力によるたわみを求めよ。
　ただし、はり全体にわたり曲げ剛性（ＥＩ）は一様です。

　せん断力だけによるはりのたわみ曲線の傾斜は、
　近似的に中立軸のせん断ひずみに等しいという仮定で算定します。
　せん断力がたわみに及ぼす影響は、
　曲げモーメントによる影響に比べ小さいことから、
　曲げ応力のみによるたわみを考えることで十分です。
　したがって、せん断力が同時に作用する場合においても、
　曲げ応力を検討することで十分です。

6.4 荷重、せん断力と曲げモーメント間の関係

　せん断力Ｓ、曲げモーメントＭ及びはりに作用する荷重の間に成り立つ関係式を求めてみましょう。

　距離dxだけ隔てた２つの横断面の間で、
　はりから切り出された１つの要素を考えます。
　この要素の左断面に生じているせん断力Ｓと曲げモーメントＭが正であれば、
　図のような向きを持っています。

　一般にせん断力と曲げモーメントは、
　はりの軸線に沿ってはかった距離Ｘとともに変化します。
　要素の右断面に生じるせん断力と曲げモーメントの値は、
　左断面における値とは異なります。

　Ｓ及びＭの変化分をｄＳ及びｄＭとすれば、
　右断面は、Ｓ+ｄＳ及びＭ+ｄＭと表すことができます。
　この要素に作用する荷重は、分布荷重または集中荷重、あるいは偶力であるかもしれません。
　今、荷重がｑの分布荷重であれば、
　はりから切り出された要素に作用する荷重は、qdxに等しい。
　鉛直方向における力のつり合いから、

　Ｓ−（Ｓ＋dＳ）−qdx＝０ 　（鉛直上向きを正）

　上の式を変形して、dＳ/dx＝−q となります。
　したがって、はりに分布荷重qが作用するときは、
　せん断力は、はりに沿って変化し、そのxに関する変化率は−qに等しい。
　図の左断面をとおる軸に関する曲げモーメントを総和（時計回りを正）すれば、

　Ｍ+qdx（dx/２）＋（Ｓ+dＳ）dx−（Ｍ＋dＭ）＝０
　Ｍ＋qx²/２＋Ｓdx＋dＳdx−Ｍ−dＭ＝０ となります。

　２次の微小項を無視すれば、次の関係式を得ます。

　dＭ/dx＝Ｓ

　この式は、はりに分布荷重が作用するか、
　あるいはまったく荷重が作用しない場合には、
　曲げモーメントの変化の割合は、
　せん断力の代数的な値に等しいことを意味しています。

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