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第５章 部材断面の諸性質

　構造部材の設計は、外力の種類、
　すなわち引張りあるいは圧縮、曲げ、せん断などに対して、
　安全で力学的効率の良い断面形状を選び、寸法を決定しなければなりません。
　また、部材は、さまざまな効率の良い断面形状が工夫されています。

　はりに作用する荷重は、軸方向（長手方向）ではなく軸直角方向に作用します。
　つまり横荷重といわれるもので、集中荷重、分布荷重、モーメント荷重などがあります。
　横荷重が作用することにより、
　はりの断面には曲げモーメントが生じます。
　はりは、曲げモーメントによって横荷重を水平に伝達する構造物であり、
　部材の上側、下側に最大の曲げ応力が生じます。

　鉄骨構造のはりには、よくＨ形鋼といわれる材料が使われます。
　これは、部材の上下端にあるフランジ部分に多くの面積を割り当て、
　曲げモーメントに耐える構造となっています。

　はり断面の持つ曲がりにくさの性質は、
　断面２次モーメントというパラメータで表現されます。
　このように外力に対して抵抗するためには、
　部材の形状等、断面の諸性質を最大限に活かして設計する必要があります。

　それでは、経済的な断面で強度を上げるためには、
　どのような工夫がなされているのだろうか。

　例えば、１つの部材に対し外力が作用したとき、
　同じ断面積の部材であっても、
　断面が縦長になっているか横長になっているかで、
　部材のたわみ方は異なります。
　曲げ、たわみなどの変形しやすさの度合いを数値的に表現できるものがあれば、
　曲げ変形に対してどの程度耐えられるかを判断するパラメータとなります。
　この章では、この様な断面の特性を表すさまざまな断面諸量についてみていきましょう。

5.1 断面諸量

　構造物の内部に生ずる内力や部材の変形を研究するには、
　構造物を構成する部材の長さのほかに、
　部材断面の諸性質が重要な役割を果たします。
　断面の特性を表す諸量には、
　主に断面積、断面１次モーメント、断面２次モーメント、
　断面相乗モーメント、断面２次極モーメント
　及び断面係数等があります。

　これらのうちどれを用いるかは、
　何を評価したいかによって異なります。
　第６章　断面力と応力で説明する部材に加わる代表的な荷重パターン
　（引張力、圧縮力、せん断力及び曲げ）によって生じる応力や変位の式をよく観察して、
　どのようなパラメータが、影響しているかを理解する必要があります。

　例えば、ある部材の変形のしにくさ、つまり剛性を評価する場合を考えます。
　引張、圧縮力を受ける部材の剛性に影響を与えるパラメータは断面積です。
　曲げを受ける部材の剛性に影響を与えるパラメータは断面２次モーメントです。
　同様に、ある部材が壊れないこと、
　つまり強度で評価する場合を考えます。
　引張、圧縮力を受ける部材の強度に影響を与えるパラメータは、断面積です。
　曲げを受ける部材の強度に影響を与えるパラメータは断面係数です。

　これらはどういうもので、
　設計する上でどのように用いられているのだろうか。
　順にみていきましょう。

5.1.1　図心と断面１次モーメント

　断面１次モーメントは、
　図形の図心を算出するのに利用されます。
　図心をとおる任意の直交軸に対して、
　断面１次モーメントは０となります。
　ある軸に対する図形の断面１次モーメントとは、
　その図形の面積と軸からその図形の図心までの距離との積です。

　例えば、幅ｂ、高さｈの長方形が、
　底辺をＸ軸にとった断面１次モーメントというのは、
　面積ｂｈと軸Ｘから長方形の図心までの距離ｈ/２との積、
　ｂｈ×ｈ/２＝ｂｈ2/２
　となります。
　つまり、ｂｈなる大きさの力が、
　図心Ｇに働いているときのＸ軸に対するモーメントと考えます。

　図に示す断面積がＡである図形について、
　Ｘ軸とＹ軸との直交座標を考えます。
　微小面積ｄＡのＸ軸に対するモーメントを求めるために、
　dＡの面積にdＡからＸ軸までの距離ｙを乗じます。
　これはｄＡという微小面積のＸ軸に対するモーメントですから、
　図形全体の面積Ａについて集計すれば求めらます。

　Ｘ軸に対するこの図形全体のモーメントＧｘを式で表すと、

　Ｇｘ＝∫Ａｙ・ｄＡ　

　となります。

　同様にして、Ｙ軸に対するモーメントＧｙも
　Ｇｙ＝∫Ａｘ・ｄＡ　となります。
　このＧｘ、Ｇｙをそれぞれ、Ｘ軸、Ｙ軸に対するこの図形の断面１次モーメントという。
　次に図形の中に１点Ｇを考え、
　その座標を（ｘ0, ｙ0）としたとき、
　　ｘ0＝Ｇy/Ａ ＝∫Ａｘ・ｄＡ/Ａ
　　ｙ0＝Ｇx/Ａ ＝∫Ａy・ｄＡ/Ａ
　で与えられるような点（ｘ0, ｙ0）を、その図形の図心という。

　例えば、図のように、幅b、高さhの長方形の図心Ｇの位置を求めてみよう。

　　Ｇｘ＝bh×h/２＝bh2/２　（Ｘ軸に対する断面１次モーメント）
　　Ｇｙ＝bh×b/２＝b2h/２　（Ｙ軸に対する断面１次モーメント）
　　Ａ＝bh
　　ｘ0＝Ｇy/Ａ＝b2h/２×1/bh＝b/２
　　ｙ0＝Ｇx/Ａ＝bh2/２×1/bh＝h/２
　　図心の座標（ｘ0, ｙ0)＝（b/２, h/２）　となります。

　今、Ｘ軸、Ｙ軸が図心をとおっている場合、軸から図心までの距離は、x0＝y0＝０ですから、
　　x0＝０＝Ｇy/Ａ＝∫Ａｘ・ｄＡ/Ａ　　⇒　Ｇy＝０
　　y0＝０＝Ｇx/Ａ＝∫Ａy・ｄＡ/Ａ　　 ⇒　Ｇx＝０
　となり、上式が成立するためには、Ｇｙ,Ｇｘが０とならなければならない。
　したがって、図形の図心をとおる任意の軸に対する断面１次モーメントは、
　０であるということがいえます。

5.1.2　断面２次モーメント

　図に示すような面積がＡである図形において、
　Ｘ軸に平行な微小面積dＡを考え、
　そのＸ軸からの距離をｙとするとき、

　Ｉx＝∫Ａy2ｄＡ
　で与えられる式Ｉxを
　図形ＡのＸ軸に対する断面２次モーメントという。
　同様にして、Ｙ軸に対する断面２次モーメントＩyは
　Ｉy＝∫Ａｘ2ｄＡ　で表す。

　また、面積がＡである図形の図心Ｇをとおる軸をＸとし、
　これと平行で、かつｙ0の距離にある他の軸をｘ軸とするとき、
　このＸ、ｘ軸に対する図形Ａの断面２次モーメントをそれぞれＩX、Ｉxとすれば、
　Ｉx＝ＩX＋ｙ02・Ａ　となります。

　断面２次モーメントは、
　部材の強度や剛性を求めるときに、
　非常に重要な意味を持つパラメータです。
　図心をとおる軸は無数に存在しますが、
　その内、断面２次モーメントが極大または極小になる軸を主軸といい、
　主軸は互いに直交します。
　主軸については、5.1.3 断面相乗モーメントで説明します。

【例題５-１】

　面積がＡである図形の図心Ｇをとおる軸をＸとし、
　これと平行でｙ0の距離にある他の軸をx軸とするとき、
　このＸ、ｘ軸に対する図形の断面２次モーメントをそれぞれ　ＩX、Ｉxとすれば
　　Ｉx ＝ＩX＋ｙ02・Ａで表せることを示せ。

　x軸に対する断面２次モーメントは、　Ｉx＝∫Ａｙ2ｄＡ

　図に示すようにｙは、ｙ＝ｙ0＋Ｙと表せます。
　したがって、上式は、
　Ｉx＝∫Ａｙ2ｄＡ＝∫Ａ(ｙ0＋Ｙ）2ｄＡ
　　 ＝∫Ａ(ｙ02＋２ｙ0Ｙ＋Ｙ2ｄＡ
　ｙ0は、一定の距離であることから定数であり、
　積分記号の前に出して整理すると、
　　＝ｙ02∫ＡｄＡ＋２ｙ0∫ＡＹｄＡ＋∫ＡＹ2ｄＡ
　ここで、∫ＡｄＡ＝Ａ、∫ＡＹ2ｄＡは、
　図心軸に対する断面２次モーメントであるから　ＩX
　また、第２項の∫ＡＹｄＡは、図心軸に対する断面１次モーメントですから、０になります。
　したがって、
　　　Ｉx＝ｙ02∫ＡｄＡ＋２ｙ0∫ＡＹｄＡ＋∫ＡＹ2 ｄＡ
　　　　＝ｙ02・Ａ＋０＋ＩX
　　　　＝ｙ02・Ａ＋ＩX
　　　　＝ＩX＋ｙ02・Ａ　となります。

【例題５-２】

　（a）、(b)図形のx軸における断面２次モーメントを求めよ。

【長方形の底辺をとおる断面２次モーメント】
　次に長方形の底辺をとおるx軸に対する断面２次モーメントを求めましょう。
　x軸に平行に微小面積dAを考え、
　x軸からの距離をｙとします。

【長方形の底辺をとおる断面２次モーメント】
　（図心をとおる断面２次モーメントが既知の場合）

　Ｉx＝ＩX＋ｙ02・Ａ

　を適用して求めてみます。

　ＩX＝bh3/12　（図心をとおる断面２次モーメント）
　ｙ0はx軸（長方形の底辺）から図心までの距離ですから、
　この場合　h/2　です。
　したがって、　Ｉx＝ＩX＋ｙ02・Ａ
　 　　　　　　　　＝bh3/12 ＋(h/2）2×bh
　　　　　　　　 　＝bh3/12 ＋ bh3/4
　　　　　　　　　 ＝bh3/3

5.1.3　断面相乗モーメント

　平面図形のｘ軸及びｙ軸に関する断面相乗モーメントは、
　次の積分によって定義されます。
　断面相乗モーメントは、
　対称性のない平面図形の主軸を求めるときに必要となります。
　主軸とは、断面２次モーメントが極大または極小となるような軸をいいます。

Ｉxy＝∫xydＡ

　微小面積dＡにその座標の積を乗じて、
　全面積にわたり積分を行う。
　断面２次モーメントは常に正ですが、
　断面相乗モーメントは、ｘｙ軸の当該図形の位置により、
　正にも負にも、また０にもなります。

[断面相乗モーメントの正負について]

　平面図形のx軸及びy軸に関する断面相乗モーメントは、
　次のように定義されます。
Ｉxy＝∫xydA
　断面２次モーメントは常に正ですが、xy軸の当該平面図形の位置関係によって、正にも負にもまた、０にもなります。
　T．平面図形が全部第１象限にあれば、x座標もy座標も正だからＩxyは正です。
　U．平面図形が全部第２象限にあれば、x座標は負で、y座標は正だからＩxyは負となります。
　V．平面図形が全部第３象限にあれば、x座標も負y座標も負だからＩxyは正となります。
　W．平面図形が全部第４象限にあれば、x座標は正で、y座標は負だからＩxyは負となります。
　平面図形が２つ以上の象限にまたがって存在するときは、
　Ｉxyの符号は、座標軸に対する図形の面積分布の状態に依存します。

　例えば、平面図形が下図のようにy軸で対称となっている場合は、
　ある正のx座標をもつ微小面積要素dＡに対して、
　常にこれと同一のy座標をもち、
　符号だけが異なるx座標をもちます。

　つまり等しい大きさで対称の位置にある面積要素dＡが存在します。
　したがって、xydＡは互いに打ち消し合い、Ｉxyは０になります。
　すなわち、一方の軸が対称軸になっているような座標軸（図心をとおっている）に対しては、
　断面相乗モーメントは、０になります。
[断面相乗モーメントの平行軸定理]

5.1.4　断面２次極モーメント

　断面２次モーメントは、断面内に横たわる軸に関するものですが、
　断面２次極モーメントは、断面に垂直な軸に関するもので、
　次のように定義されます。

　ここで、微小面積dＡに対し、点０に垂直な軸からの距離rの２乗を掛け合わせ、
　断面全全体について積分したものです。
　慣性極モーメントとも呼ばれます。
　図のように直交座標軸x,yを取れば、
　　r2＝x2＋y2の関係式が成立するので、

　Ｉp＝∫A　r2 dＡ＝∫A　(x2+y2)dＡ＝∫A　x2 dＡ＋∫A　y2dＡ＝Ｉx＋Ｉy　という関係式が成立します。

　つまり、任意の点に関する断面２次極モーメントは、
　同じ点をとおる直交座標軸x,yに関する断面２次モーメントの和に等しいことを示しています。

　Ｉp＝Ｉx＋Ｉy

　　Ｉx：任意にとられた直交座標軸xに関する断面２次モーメント
　　Ｉy：任意にとられた直交座標軸yに関する断面２次モーメント

【例題５-３】

　図の丸棒の断面２次極モーメントを求めなさい。

【解答５-３】

　円の全面積を半径がr、断面内部に赤色で示す微小領域（円輪）を設定します。
　この微小領域の幅を限りなく小さいdrとすると、
　この微小領域の面積dAは、

　dA＝2πrdrであり、

　定義により、この微小領域の円中心に関する断面２次極モーメントは、
　r2・dA＝r2・2πrdrとなります。
　円全体の断面２次極モーメントを求めるには、
　これを全面積にわたり積分します。

【例題５-４】

　図の正方形断面の断面２次極モーメントを求めなさい。

【解答５-４】

【例題５-５】

　図の断面２次極モーメントを求めなさい。

【解答５-５】

5.1.5　断面係数

　Ｘ軸が図形の図心Ｇをとおります。
　Ｘ軸に対するその図形の断面２次モーメントをＩXとします。
　Ｘ軸から図形の上縁と下縁までの距離を、それぞれｙ1、ｙ2とするとき、
　Ｗ1＝ＩX/ｙ1を上縁に対する断面係数
　Ｗ2＝ＩX/ｙ2 を下縁に対する断面係数　という。

　今、曲げモーメントは同じだとすれば、
　応力を半分にするには、断面係数を倍の大きさに変更すればよい。
　断面係数は板厚(高さ)の２乗がパラメータとして入っているから、板厚を√２倍以上にすればよいことになります。

5.2 部材の特質

　構造物に外力が作用したとき、
　部材の変位や変形は、部材の接合状態によります。
　また、同じ接合状態であっても異種の材質間、断面形状、大きさの違いにより、
　変位、変形は変わります。

　例えば、柱部材がはり部材に比べ著しく強度が高ければ、
　はり部材のたわみ角は、固定端ばりと同様にたわみ角は0に近づく。

　一方、柱部材の強度がはり部材より著しく小さい場合には、
　はりのたわみ角は、単純ばりの可動支点のようなたわみ角が生じます。

　このように、構造物の接合部分の変形は、
　柱とはりの相対的な強度のバランスによって決まります。

5.2.1　剛度、剛比

　剛度は、Ｋ＝Ｉ/l　で表す。
　断面２次モーメントＩを、その部材の長さlで割って求めることができます。
　剛度は大きいほど、曲げにくい剛性の高い部材となります。
　この剛度を、ある部材を基準として標準剛度（Ｋ0）を決めます。
　それで割ったものが剛比となります。
　標準剛度（Ｋ0）は任意の値でいいが、通常は、剛度の中で最も小さな値を用いることが多い。
　剛比は、部材同士の力を受け持つ強さの比率を表します。

k=Ｋ／Ｋ0　　（k：剛比　Ｋ0：標準剛度）

5.2.2　力の伝達

　ある剛節接合部（固く結合されて回転を許さない節点）に
　外力としてモーメント荷重を作用させたとき、
　接合されている部材の剛比に比例してモーメント荷重が分配されます。
　これを分配モーメントという。

　　分配モーメント＝その部材の剛比×モーメント荷重/節点に集まる剛比の和

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