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第２章 力と変形

2.1 応力とひずみ

　コンクリートや鋼材をはじめ、様々な材料で構成された構造物が、力を受けたとします。
　すると各材料内部にはその力に抵抗する力、内力が生じます。
　また、同時に構造物に変位、変形等が生じます。

　今、円柱形の供試体を軸方向に圧縮または引っ張ります。
　すると、供試体は、引張力には伸び、圧縮力には縮みます。
　ある寸法の供試体を用いて力と変形の関係を表すと、
　同じ材料であっても供試体の寸法によって、力と変形の関係はその都度変わります。
　そこで供試体の力と変形の関係を普遍的に表すため、
　応力とひずみというものを導入します。
　これによると供試体の寸法に関わらず、力と変形に関する材料固有の関係が得られます。

2.1.1　引張力、圧縮力と引張応力、圧縮応力

　図のように棒の上端Ｂを固定し、下端Ａに力Ｐを作用させます。
　力Ｐが作用すると、一般に変形が生じます。
　棒の内部には、その変形に抵抗し、その形状を保持しようとする内力が生じます。
　内力は、物体内に外部からの力の作用に応じて起こる現象です。
　内力が生じているのは、変形が生じているからです。

　任意の断面ｍ−ｍにおいて、棒を仮想的に切り離して考えてみます。
　すると断面上には、力Ｐと同じ大きさで向きが逆の内力Ｐが生じています。[(a),(b)図]
　そして、力Ｐと内力Ｐとは、互いにつり合いを保っています。

　単位面積当たりの内力を公称応力といい、次式で与えられます。
　構造力学では特に断らない限り、この公称応力を単に応力と呼んでいます。

　　σ＝Ｐ/Ａ₀

　　Ｐ：力　Ａ₀：外力を作用させる前の断面積

　引張力Ｐにより棒は変形し、断面積は減少します。
　各瞬間の真の応力は、引張力Ｐを変形途中の真の断面積Ａで割った値であり、
　これを真応力σ_aといいます。

　　σ_a＝Ｐ/Ａ

　このように、軸方向引張りを受ける棒の断面に生じている応力σ（シグマ）は、
　内力を断面積で割った値ですから、その単位はpa（パスカル）です。
　このように棒が引張を受けるときの内力は引張力となり、
　断面に生じる応力を引張応力と呼ぶ。

　また、下端Ａにおいて、力Ｐを上向きに作用させた場合[(d)図]は、
　上端Ｂの力も逆となり棒は圧縮されます。
　この場合の内力は圧縮力となり、応力も圧縮応力と呼ぶ。

　一般的に引張力、引張応力は正であり、
　圧縮力、圧縮応力は負と約束します。
　これら、引張応力や圧縮応力は断面に対して一様に分布し、
　断面に対して直角方向に生じる応力ですから、垂直応力とも呼ばれます。

2.1.2　せん断力とせん断応力

　極めて接近している２つの断面に平行で大きさが等しく、
　作用方向が反対である一対の力を考えます。
　ちょうどはさみで物を切断するような力をせん断力といいます。

　今、力としてせん断力Ｓを作用させます。
　この力Ｓに抵抗するため内力として生じる力をせん断応力といい、
　せん断されようとする断面に平行な向きに生じます。
　せん断応力は通常τ（タウ）で表します。

　実際、せん断応力の分布は、断面の各部で一様ではなく複雑な分布を示します。
　しかし、部材設計を行う場合は、断面の各部で一様に分布するものと考え、
　せん断されようとする断面積がＡの場合は、
　せん断応力τは、次のようになります。

　　τ＝Ｓ/Ａ

　せん断応力は、断面に対して接線方向に生じるので、接線応力と呼ばれます。
　　　　　※せん断力は，逆向きの力が対に作用する偶力

2.1.3　曲げモーメントと曲げ応力

　棒に力Ｐが作用すると図のように変形します。
　この棒の中心線から上側は圧縮され、下側は引張を受けます。
　これらに抵抗するため内力として曲げモーメントが生じます。

　曲げ応力の分布は、図に示すように
　断面の上縁から下縁にわたって直線的に変化します。
　そのため伸び縮みもない面が存在することになり、
　ここには曲げ応力は生じません。

　このような面を中立面という。
　中立面と横断面の交線を中立軸と呼びます。
　このように曲げ応力は中立軸からの距離に比例します。
　曲げ応力も断面に垂直に作用する垂直応力です。
　曲げ応力の中立軸に関するモーメントは、曲げモーメントと等しくなります。

2.1.4　ひずみ

　物体に力を加えると変形を起し、物体の形状と寸法とが変化します。
　この変化を変形といいます。
　変形量と元の寸法の比、すなわち、物体の単位長さに対する変形量の数値をひずみ度、
　あるいは、公称ひずみといいます。
　公称ひずみは、応力と同時に発生します。
　公称ひずみが生じている場合は、必ず応力が生じています。

　構造力学では特に断らない限り、公称ひずみを単にひずみと呼んでいます。
　変形量を求めるには、縦変形、横変形であっても
　変形後の長さから元の長さを引いた差で表されます。

　棒を軸方向に引っ張ったとき、軸方向のひずみ（縦変形）が発生し、
　同時に棒の径が細くなる方向（軸直角方向）にもひずむことは感覚的に理解できます。
　このとき軸直角方向に物体を拘束するものがなければ、応力は生じません。
　縦ひずみが正値の場合、横ひずみは圧縮方向になるため負値となります。

　縦変形のひずみ　ε（イプシロン）＝(l₁-l₀)/l₀
　l₁：変形後の長さ　　l₀：元の長さ
　横変形のひずみ　β（ベータ）＝(d₁-d₀)/d₀
　d₁：変形後の長さ　　d₀：元の長さ
　　※　引張のときのひずみは、縦変形、横変形であっても正のひずみ
　　※　圧縮のときのひずみは、縦変形、横変形であっても負のひずみ

　変形量が大きくなると、ひずみを定義するには、
　元の長さを基準にするのではなく、
　真応力を考えたときと同様に、各瞬間のひずみを定義するのが合理的です。

　つまり、元の長さl₀からｌに変化したとき、dl＝l−l₀だけ伸びたとすると、
　ひずみの増分ｄε_a＝dl/lと表示されます。
　したがって、l₀からl₁まで伸びたときの全ひずみε_aは、

　となります。このひずみを真ひずみ※といいます。

　ひずみの定義より、ε＝(l₁-l₀)/l₀ ＝l₁/l₀−1　⇒　l₁/l₀ ＝1+ε　より、
　真ひずみε_aをεに関してテーラー展開すると、
　ε_a＝ln(1+ε)＝ε−ε²/2＋ε³/3−…　となり、ひずみεが小さいときは、
　ε_a＝ε　と近似してよい。

2.1.5　ポアソン比

　丸棒を軸方向に引っ張ったとき、
　軸方向にひずみ(縦ひずみ)が生じますが、
　同時に径が細くなる方向にもひずみ(横ひずみ)が生じます。
　つまり、棒が軸方向に伸びる場合には、横方向には縮みを伴います。
　またその逆も生じます。

　弾性限度以下においては、横方向のひずみと縦方向のひずみの比は一定となり、
　この常数を通常ν(ニュー)、または、１/ｍで表し、
　νをポアソン比、ｍをポアソン数といいます。

　　ν＝１/ｍ＝−横方向のひずみ/縦方向のひずみ

　大抵の物質は伸ばすと幅が細くなります。
　変形量を求めるには、縦変形、横変形であっても
　変形後の長さから元の長さを引いた差で表されます。
　そのため「伸び」と「縮み」のひずみ量は正負符号が反対になります。
　ポアソン比を正の値にするため、ポアソン比にマイナス（−）がついています。

　ポアソン比は材料固有の値で、その材料の性質を表す重要な定数です。

　金属材料では０．３程度で、例えばゴムのような材料は０．５に非常に近い値を示すことが知られています。
　ポアソン比０．５は、材料を変形させても体積変化が完全にないことを表しています。
　ゴムなどの材料だと０．４〜０．５の値となります。
　また、０に近いポアソン比を持つ材料には、コルクがあります。
　コルクは、圧縮したり伸びたりしても、横方向の変形はほとんどありません。
　そのためビンの栓などに使用されています。

　引張を受けた棒の体積の変化は、
　材料のポアソン比νとヤング率Ｅが分かっていれば求めることができます。
　今、引張を受けている棒の微小要素を取り出します。
　微小要素は、単位の長さを持つ立方体とし、
　引張力の方向は図に示す方向です。
　引張方向の微小要素のひずみεは、
　σ＝Ｅ・ε　より、　ε＝σ/Ｅ　で表されます。
　引張方向と異なる２つの横方向の微小要素の縮みは、各々νεとなります。
　したがって、微小要素の横断面の面積は、
　変化後と最初の比は、次のように表されます。
　(1-νε)²：1
　微小要素の体積の変化後と最初の比は、次のようになります。
　(1+ε)(1-νε)²：1
　εに関する２次以上の微小量を無視しますと、
　(1+ε)(1-νε)²＝(1+ε)(1-2νε+ν²ε²)
　＝1-2νε+ν²ε²+ε‐2νε²+ν²ε³
　＝1+ε‐2νε　となり、
　(1+ε)(1-νε)²：1　は、1+ε‐2νε：1　と簡略化されます。
　微小要素の変化は、
　変形後の体積から変形前の体積を減じたもの�凾uを最初の体積Ｖで除したものです。
　この量を体積ひずみ（体積変化率）と呼び、次のように表されます。

　次に２軸応力によるひずみを考えます。
　２軸応力が生じている微小要素のx軸方向のひずみは、
　x軸方向の応力σ_xのみならず、ｙ軸方向の応力σ_yの影響も受けます。
　σ_xによるx方向のひずみε_xは、σ_x/Ｅとなり、
　σ_yによるx軸方向のひずみは、−νσ_y/Ｅとなります。
　したがって、σ_xとσ_yが同時に生ずれば、x軸方向のひずみは、次のように表されます。
　ε_x＝１/Ｅ（σ_x-νσ_y）
　同様にｙ軸方向、ｚ軸方向のひずみは、次のように表されます。
　ε_y＝１/Ｅ（σ_y-νσ_x） ε_z＝−ν/Ｅ（σ_x＋σ_y）

　二軸応力が生じている弾性材料の単位体積Ｖ₁=１は、
　ｘ、ｙ及びｚ軸方向の寸法が、
　それぞれ(1+ε_x),(1+ε_y),(1+ε_z)となることから、
　変形後の棒の体積Ｖ₂は次のようになります。
　Ｖ₂＝(1+ε_x)(1+ε_y)(1+ε_z)
　高次の微小量を無視すると、
　Ｖ₂＝1+ε_x+ε_y+ε_z　となることから、
　体積ひずみ（体積変化率）は次のようになります。
　(�凾u)/Ｖ_１＝(Ｖ₂−Ｖ₁)/Ｖ₁＝{(1+ε_x+ε_y+ε_z )-1}/1＝ε_x+ε_y+ε_z
　これに、　ε_x＝１/Ｅ（σ_x-νσ_y）、
　ε_y＝１/Ｅ（σ_y-νσ_x）、
　ε_z＝−ν/Ｅ（σ_x＋σ_y）の関係式を代入すると、
　(�凾u)/Ｖ_１ ＝(σ_x＋σ_y)(1-2ν)/Ｅ　が得られます。
　ここで、σ_y＝０　つまり一軸応力の場合は、
　(�凾u)/Ｖ_１ ＝σ_x(1-2ν)/Ｅ＝ε_x(1-2ν)　となります。

　最後に、三軸応力によるひずみを考えます。
　ｘ軸、y軸及びz軸のひずみは、
　材料がフックの法則に従うならば、
　二軸応力のひずみを求めるときと同様に、次の式が得られます。
　ε_x＝１/Ｅ（σ_x-νσ_y-νσ_ｚ）
　ε_y＝１/Ｅ（σ_y-νσ_x-νσ_z）
　ε_ｚ＝１/Ｅ（σ_ｚ-νσ_x-νσ_ｙ）
　体積ひずみ（体積変化率）は、二軸応力の場合と同様に次のようになります。
　(�凾u)/Ｖ_１＝(Ｖ₂Ｖ1)/Ｖ₁
　＝{(1+ε_x+ε_y+ε_z )-1}/1
　＝ε_x+ε_y+ε_z
　これに、ε_x＝１/Ｅ（σ_x-νσ_y-νσ_ｚ）、
　ε_y＝１/Ｅ（σ_y-νσ_x-νσ_z）、
　ε_ｚ＝１/Ｅ（σ_ｚ-νσ_x-νσ_ｙ）を代入すると、
　体積ひずみ（体積変化率）は、次のように表されます。
　(�凾u)/Ｖ_１ ＝(1-2ν)/Ｅ(σ_x+σ_y+σ_ｚ)
　今、微小要素が静水圧のように３方向に一様な圧縮力を受けているような場合、
　σ_x＝σ_y＝σ_ｚ＝−ｐ　（ｐ：圧縮力）　であるから、
　体積ひずみ（体積変化率）は次のように表されます。
　(�凾u)/Ｖ_１
　＝(1-2ν)/Ｅ(σ_x+σ_y+σ_ｚ)
　＝-3(1-2ν)ｐ/Ｅ
　＝−ｐ/Ｋ
　体積ひずみをε_Ｖとすると、
　−ｐ＝Ｅ/3(1-2ν) ε_Ｖ　となり、
　ここでＫ＝Ｅ/3(1-2ν) 　とすると、
　−ｐ＝Ｋ・ε_Ｖ　と表され、Ｋは体積弾性係数と呼ばれます。

【解答２−１】

　断面積Ａとし、フックの法則、ポアソン比の定義から、
　σ＝Ｅε　　Ｐ/Ａ＝Ｅ×�冤/l
　∴　�冤＝Ｐl/ＡＥ
　Ａ＝πd²/４　　ν＝(�凾�/d)/(�冤/l)　だから、
　�囘/d＝ν×(�冤/l)＝ν×(Ｐl/ＡＥ)×(１/l)＝ν×(Ｐ/Ｅ)×４/πd² ＝４Ｐν/πd²Ｅ
　∴　�囘＝４Ｐν/πｄＥ

2.1.6 応力とひずみの関係

(1)　弾性変形

　ある状態から荷重を載荷し、次に荷重を取り除いたとき、
　荷重載荷時と同一の応力σ−ひずみε経路をたどり、
　寸法・形状などが元の状態に戻る性質を弾性といいます。
　このような性質を持った材料を弾性体といいます。

　弾性体では、応力(σ)−ひずみ(ε)の関係がσ＝Ｅ・εのように比例関係が成立します。
　Ｅはヤング率といい、材料固有の値で、その値が分かれば、どのような材料か見当がつきます。

　また、応力とひずみが比例関係にあることをフックの法則といい、
　ばねの伸び縮みの法則としても知られています。

（2）　一軸引張（圧縮）試験下で得られる線形弾性体の応力−ひずみ関係

　棒状の弾性体を軸方向(x軸方向)に引張り（圧縮）、応力−ひずみの関係について検討します。
　弾性体には引張応力σ_xが次第に増加するにつれ、
　これに比例して軸方向のひずみε_xが増加します。
　つまり、ε_xとσ_xの関係はσ−ε座標で図に示すように直線になり、式で表すと先に説明した、

σ_x＝Ｅ・ε_x

　という関係があります。
　弾性体には、ε_xとともに、ｘ軸に垂直なｙ、ｚ方向の直ひずみε_y、ε_z が発生しますが、
　これらのひずみは、ε_xと符号が異なり、σ_xが引張り[正（＋）]のときには、ε_y、ε_zは負（−）になります。
　ε_y、ε_zの関係を式で表すと、

ε_y＝ε_z＝−ν・ε_x

　となります。νは先に説明したポアソン比です。
　まとめますと、

ε_x＝１/Ｅ・σ_x ,　ε_y＝−ν/Ｅ・σ_x ,　ε_z＝−ν/Ｅ・σ_x

　このように、一軸引張（圧縮）を受けた弾性体は、ｘ軸方向にひずみを生じるとともに、y,z方向にも生じます。
　ひずみが生じている場合は必ず応力が発生しています。
　つまりy、z軸方向にはｘ軸方向の引っ張りが起因となり、応力が生じます。
　ｙ,z軸方向の圧縮応力は、

σ_y＝Ｅ・ε_y＝−ν/Ｅ・σ_x 　,　　σ_z＝Ｅ・ε_z＝−ν/Ｅ・σ_x

(3)　ヤング率、せん断弾性係数、体積弾性係数及び各弾性率の関係

【ヤング率：Ｅ】

　ヤング率は、縦弾性係数、または縦弾性率とも呼ばれます。
　材料の引張試験により得られた応力−ひずみ線図の弾性域(線形部)の傾きとして定義されます。
　材料の強さを表す重要な定数です。
　応力とひずみの関係を式で表すと、
　σ＝Ｅε　　σ：応力、ε：ひずみ、Ｅ：ヤング率（縦弾性係数）

【せん断弾性係数：Ｇ】

　せん断弾性係数は、横弾性係数、横弾性率、せん断弾性率、剛性率、ずれ弾性係数、ずれ弾性率などとも呼ばれます。
　せん断弾性係数は、ヤング率における(垂直)応力と(垂直)ひずみの関係を、
　せん断応力とせん断ひずみの関係に置き換えた場合の比例定数として定義されます。
　τ＝Ｇγ　　τ：せん断応力、γ：せん断ひずみ、Ｇ：せん断弾性係数

【体積弾性係数：Ｋ】

　変形前の物体内の辺の長さが、dx,dy,dzの微小6面体を考えます。
　垂直ひずみε_xより変形後のdx方向の長さは、
　ε_x＝�冤/dx　　�冤は変形量（＝変形後の長さ−変形前の長さ）　ですから、
　�冤＝ε_xdx　と表され、
　dx（１＋ε_x）となります。

　同様にε_y, ε_zより変形後のdy,dz方向の長さは、dy（１＋ε_y),dz（１＋ ε_z）となります。
　ひずみが微小のとき、６面体の体積は変形前のdＶ＝dxdydzから
　�囘Ｖ＝（ε_x＋ ε_y＋ ε_z）dxdydzだけ変化しており、
　ε_v＝(�囘Ｖ)/dＶ＝ε_x＋ ε_y＋ ε_z　で定義されます。
　ε_vを体積ひずみと呼ぶ。

　σ_v：圧力、ε_v：体積ひずみ、Ｋ：体積弾性係数、�囘Ｖ：体積変化、dＶ：体積、ε_x：x方向垂直ひずみ、
　ε_y：y方向垂直ひずみ、ε_z：z方向垂直ひずみ

　　σ_V＝Ｋε_v＝Ｋ（ε_x＋ ε_y＋ ε_z）

　で表されます。ここで、Ｋは体積弾性係数です。

【各弾性率の関係式】

　ヤング率Ｅ、せん断弾性係数Ｇ、体積弾性係数Ｋはポアソン比νを介して、
　それぞれ変換することができます。
　Ｇ＝Ｅ/２（１＋ν）　　　　　Ｋ＝Ｅ/３(１−２ν)

３次元物体の応力とひずみの関係

　ある弾性体に荷重Ａが作用したときに生じるひずみε_Aは、
　ただ一通りに決まります。
　今、弾性体に、
　�@荷重Ａを載荷してから荷重Ｂを載荷する場合、
　�A荷重Ｂを載荷してから荷重Ａを載荷する場合、
　�B荷重Ａ，Ｂを同時に載荷する場合のいずれにおいても、
　生じるひずみは、荷重Ａだけが作用したときに生じるひずみをε_A、
　荷重Ｂだけが作用したときに生じる応力・ひずみをε_Bとすれば、
　ε_A＋ε_Ｂ で与えられます。
　つまり、複数の荷重が作用するときに生じるひずみは、
　荷重の載荷方法によらず、
　単独の荷重の作用のもとで得られるひずみを単純に足し合わせたものに等しい。
　これを重ね合わせの原理といい、
　弾性体においてはこの原理が成立します。
　３次元物体のひずみの間に、重ね合わせの原理を適用すると、以下の関係式が得られます。

　ｘ軸方向の引張り（ひずみ）　　ｙ軸方向の引張り（ひずみ）　ｚ軸方向の引張り（ひずみ）
　　ε_ｘ　　　　　　　　　　　　　　ε_ｙ　　　　　　　　　　　　　ε_z
　　ε_ｙ＝−νε_ｘ　　　　　　　　　ε_ｚ＝−νε_ｙ　　　　　　　 　ε_x＝−νε_z
　　ε_ｚ＝−νε_ｘ　　　　　　　　　ε_ｘ＝−νε_ｙ　　　　　　　 　ε_y＝−νε_z

　ｘ軸方向の全ひずみ（Ｔε_ｘ）は、重ね合わせの原理を用いると、
　　Ｔε_ｘ＝　ε_ｘ　＋（−νε_ｙ）　＋（−νε_z）
　フックの法則を適用すると
　　　　　＝σ_ｘ/Ｅ　−　νσ_ｙ/Ｅ　−νσ_ｚ/Ｅ　
　　　　　＝１/Ｅ{σ_ｘ-ν（σ_ｙ＋σ_ｚ）}
　同様にして
　　Ｔε_ｙ＝１/Ｅ{σ_ｙ-ν（σ_ｚ＋σ_ｘ）}　、
　　Ｔε_ｚ＝１/Ｅ{σ_ｚ-ν（σ_ｘ＋σ_ｙ）}　　となります。

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