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第１章　静力学の基礎

1.1 静力学

　力とは、物体に作用して、その運動状態を変化させる原因です。
　力を考えるには、その大きさ、作用する方向及び作用する位置が必要です。
　これらを力の３要素と呼び、『力』を考えるには、必ずこの３要素を備えていなければなりません。
　平面内にある物体の運動は、「水平方向」、「鉛直方向への運動」と「回転運動」の３つの成分に
　分けることができます。
　物体に力が作用し、静止させるためには、３つの運動成分を拘束する必要があります。

　２力またはそれ以上の多くの力が作用した場合に、
　それら数力と同じ影響を与える１つの力を求めることを力の「合成」といい、
　合成された力を「合力」と呼びます。
　またこれと反対に１つの力を２つ以上の力に分けることを力の「分解」といい、
　分けられた力を「分力」と呼びます。

　力や加速度はその大きさだけでは定まらない量であり、
　その方向も同時に指定しなければなりません。
　大きさと方向を持つ量をベクトル量といいます。

　これに対して方向を指定しなくても定まる量、
　例えば、長さ、面積、体積や質量などをスカラー量といいます。

　また、部材に力が作用すると、その力に抵抗してつり合いを保つため部材内部に力が生じます。
　これを内力といい、単位面積当たりの内力を応力といいます。
　応力はベクトルでもスカラーでもなくテンソル量といいます。

1.1.1　力の基礎的法則

�@　力の移動性の法則

　物体に作用する力の作用点は、
　同一作用線上を移動しても、物体のつり合い、運動状態は変化しません。
　このことを力の移動性の法則といいます。

　物体に作用する回転力は、図(a)の方が図(b)より大きく作用する感じがします。
　図(a)のように力を作用線上に移動させた場合、運動状態は変化しませんが、
　図(b)のように平行移動した場合は元の状態に比べ、回転力に差が生じることが感覚的に分かります。

　つまり、力は作用線上を動かせますが、平行移動させると異なった運動をしてしまいます。
　力の移動性の法則は、物体の移動や、回転する効果は同じです。
　しかし、物体の作用位置により、変形は異なります。
　変形の問題を扱う場合は、元の状態で考える必要があります。

�A　力の平行四辺形の法則

　物体内の任意の点に作用する２力の合力は、
　その２力を相隣り合う２辺とする平行四辺形の対角線の大きさ及び方向をもつ１力の効果に等しい。

※大きさだけでなく、方向も考えなければならない量の足し算は、単純に足すことはできません。

�B　力の三角形の法則

　力の平行四辺形の半分だけを描くことによって、２力Ｆ₁とＦ₂の合力Ｒが求められます。

�C　作用と反作用の法則

　物体Ａと物体Ｂが力を及ぼし合うとき、
　相互に及ぼし合う力の一方を作用と呼び、他方を反作用と呼びます。
　作用と反作用は、同時に一直線上で働き、この両作用の力の大きさは等しく、方向は反対です。

1.1.2　一点に作用する２力の合成

(Ａ)力の平行四辺形の法則

　２つの力Ｆ₁とＦ₂の合力Ｒは、Ｆ₁とＦ₂を２辺とする平行四辺形の対角線で表されます。
　逆に、１つの力Ｒはそれと同じ効果を持つ２つの分力Ｆ₁とＦ₂に分けられます。
　合力Ｒと同じ効果をもつ分力は無数に存在します。

1.1.3　一点に作用する多くの力の合成

（Ａ）図解法（力の多角形、示力図）

　多くの力の合力を求めるには、多くの力のうち任意の２力をまず合成します。
　次に、その合力と他の１つの力を合成します。
　さらに今求めた合力と別の力とを合成します。
　与えられた全ての力について、この方法を繰り返すことにより合力を求めることができます。
　この場合、力の三角形の法則を組み合わせ、連続してできた多角形ＡＢＣＤＥを力の多角形、
　または、示力図（しりょくず）といいます。

　力の始点Ａと終点Ｅを結んだ線分の大きさが合力Ｒの大きさであり、
　線分の向きがその方向を示します。
　力の合成には力を平行移動しているため、異なった運動をしてしまいます。
　したがって、力の作用位置は求められません。

　力の作用位置を求める場合は、後に説明する連力図（れんりょくず）を利用する必要があります。

（Ｂ）解析法

　力の作用点Ｏを原点とする水平軸ＯＸと、これに直角な鉛直軸ＯＹの２軸を考えます。
　全ての力Ｐ_iのＸ，Ｙ方向の各分力の代数和をそれぞれ、ΣＨ、ΣＶとするとき、
　合力の大きさＲ及び合力がＸ軸となす角φが次式により求められます。

1.1.4　一点に作用する力のつり合い

　１点に多くの力が作用し、その点が移動しない静止の状態にあるとき、
　それらの力はつり合い状態にあるという。
　そのための必要十分条件は次のとおりです。

(a)必要十分条件（図解的）
　　力の多角形が閉じます。
　　つまり、力の多角形を構成する全ての力の向き（矢印）が循環し、
　　かつ、力の始点と終点が一致することです。

(b)必要十分条件（解析的）
　　Ｒ＝√(（ΣＨ）²+（ΣＶ）²　)において、Ｒ＝０　になることが条件となります。
　　すなわち、次の2式が同時に成立することです。
　　　ΣＨ＝０（水平分力の和が0）
　　　ΣＶ＝０（鉛直分力の和が0)

「作用・反作用」と「力のつり合い」について
　　【作用・反作用】
　　　・「物」が「台」を押すが、同時に同じ大きさの力で「台」も「物」を押し返す。
　　　・「押す」、「押し返す」の関係は、「物」と「台」の２物体間で起こる現象です。
　　　・力は単独では存在せず、常にどのような力も作用と反作用がペアになっています。

　　【力のつり合い】
　　　・重力により「物」は引かれ、「台」が「物」を押しています。
　　　・どちらも「物」に働いています。

　つまり、作用・反作用は、２つの物体の間に働く力です。力のつり合いは、１つの物体に働く力です。

1.1.5　力のモーメント

　力Ｐがある１つの点Ａを外れて作用したとき、
　その点に関して回転を起こそうとする力を生じます。
　この回転力をモーメントといい、点Ａから力Ｐの作用線までの垂直距離をaとすると、
　力Ｐの点Ａに関するモーメントＭは、

　　　Ｍ＝Ｐ・a

　によって表されます。モーメントは右回り（時計方向）を正と約束します。

1.1.6 モーメント荷重

　モーメント荷重は、理論上、点に作用する回転力ですが、
　これを発生させるには、微小距離間に作用する１対の逆向きの力、偶力を必要とします。

1.1.7 偶力

　２つの平行力において、大きさが等しく向きが反対な場合、その１組の力を偶力という。
　図のように力ＰとＰの間の垂直距離をｌとすれば、
　Ｐ・lを偶力または偶力モーメントと呼び、
　右回り（時計方向）のものを正（＋）、
　左回り（反時計回り）のものを負（−）と約束しています。

　偶力は、モーメントを求める点の位置には関係がありません。
　偶力によるモーメントと単なるモーメントの相違点は、
　力の合力が０となるか、ならないか、作用点が指定されていないか、いるかの２つです。

　今、１組の偶力の任意点Ｏに関するモーメントを考えます。
　点Ｏよりl₁の距離にある力Ｐは、点Ｏに関して右向き（＋）のモーメントＰ・l₁を与え、
　点Ｏよりl₂の距離にある力Ｐは左向き（−）のモーメントＰ・l₂を与えます。
　これらの和が点Ｏに対するモーメントですから、

　　Ｍ＝Ｐ・l₁−Ｐ・l₂＝Ｐ（l₁−l₂）＝Ｐ・l

　となり、l₁やl₂に関係なく常にＰ・lとなります。
　したがって、偶力モーメントは、求める点の位置に関係ないということがいえます。

1.1.8 一点に作用しない多くの力の合成

（Ａ）図解法（力の多角形）

Ａ図のように力F₁, Ｆ₂, Ｆ₃の合力Ｒ及び作用位置を求めます。

1. [Ｂ図]まず、力の多角形１,２,３,４を作り、合力Ｒの大きさと向きを決定します。
2. [Ｂ図]次に、任意点Ｏ（極）をとり、力の多角形の各頂点とＯとを結ぶ極射線�T、�U、�V、�W（点線部分）を引きます。
3. [Ａ図]Ｆ₁の作用線上に任意の点ｍをとり、極射線�Tに平行な辺lｍを引きます。
   続いて点ｍを通り極射線�Uに平行な線を引き、Ｆ₂との交点をｎとします。
   
   　以下同様にして、極射線�V、�Wを力の作用図に平行移動し、それぞれ辺ｎｐ及び辺ｐｑを引けば、
   　辺lｍと辺ｐｑの交点ｓが合力>Ｒの通る点となります。
   　このとき、描かれた辺lｍｎｐｑを連力図（れんりょくず）と呼びます。
4. 一点に作用しない多くの力の合成において、力の多角形は、合力の大きさ及びその方向は求めることはできますが、
   　力の作用線を求めることはできません。
   　そこで、任意点Ｏ（極）をとり、力の多角形の各頂点とＯ（極）を結びます。
   　これは、各力（F₁,F₂,F₃）を分解し、分力を利用することによって、合力の作用線を求めるものです。
   　つまり（Ｂ）図において、F₁は(1o)＋(o2)、F₂は(2o)＋(o3)、F₃は(3o)＋(o4)に分解され、
   　分力の作用方向が連力図（lｍｎｐｑ）になります。
   　Ｂ図の�Uは(o2)と(2o)、�Vは(o3)と(3o)により各々の力は相殺され、
   　結局、端辺�T(1o)、�W(o4)の力が残り、（Ａ図）のlm,pq作用線の交点が合力Ｒの作用線をとおることになります。

【証明１-１】

力の多角形において、Ｆ₁、Ｆ₂ 、Ｆ₃は、極斜線�T、�U、�V、�Wで表せる力の成分に分解されます。

1. Ｆ₁は分力�T(１Ｏ)、�U(Ｏ２)に置き換えられます。
2. Ｆ₂は分力�U(２Ｏ)、�V(Ｏ３)に置き換えられます。
3. Ｆ₃は分力�V(３Ｏ)、�W(Ｏ４)に置き換えられます。

　すなわち、Ｆ₁、Ｆ₂ 、Ｆ₃は、lｍｎｐｑに沿う力に置き換えられます。
　しかし、図中の２力�U(Ｏ２)と�U(２Ｏ)、�V(Ｏ３)と�V(３Ｏ)は、打ち消し合って０となるので、
　結局、力�T(１Ｏ)と�W(Ｏ４)だけが残り、それらの合力Ｒは辺lｍと辺ｐｑの交点ｓをとおります。
　平行でない２力の合力は、２力の作用線の交点をとおります。

（Ｂ）解析法

　任意点Ｏを原点とする直交軸ＯＸとＯＹを設け、全ての力のＸ，Ｙ方向の分力の代数和をそれぞれΣＨ、ΣＶとすれば、
　合力の大きさＲ及びＸ軸となす角度φが次式により求められます。

(２力の作用線の交点を合力の作用線がとおることを確認しよう)

　バリニオンの定理を利用して、図のような２力Ｆ₁、Ｆ₂を合成した合力Ｒは、
　各々の力の作用線上の交点をとおることを確認しよう。

　今、力Ｆ₁の作用線上に任意点Ｐがあります。
　この場合、力Ｆ₁によるモーメントは０となります。
　また、力Ｆ₂の作用線上の任意点Ｑについても力Ｆ₂によるモーメントは０となります。

　そこで、力Ｆ₁、Ｆ₂の作用線上の交点Ｏを選定すると、力Ｆ₁、Ｆ₂共にモーメントは０となります。
　また、力Ｆ₁とＦ₂の合力Ｒは、力の平行四辺形の法則により、
　その２力を相隣り合う２辺とする平行四辺形の対角線です。
　合力Ｒの作用線は力Ｆ₁、Ｆ₂の作用線の交点を通過しており、その点によるモーメントは０となります。

　したがって、２力を合成した合力は各々の力の作用線上の交点をとおることになります。

【例題１−２】

　点Ａで交わる２つの平面力ＰとＱの合力をＲとするとき、
　平面内に選んだ任意の点Oに関するＰとＱのモーメントの和は、
　合力Ｒのモーメントに等しいこと（バリニオンの定理）を証明せよ。

【証明１−２】

　点ＯＡを結び、ＯＡに直交する直線ＯＸを引きます。
　各頂点Ｂ,Ｃ,ＤからＯＸに下した垂線の足をそれぞれＢ´,Ｃ´,Ｄ´とすると、
　力Ｐのモーメント＝ＯＡ×ＯＢ´´＝ＯＡ×ＯＢ´
　力Ｑのモーメント＝ＯＡ×ＯＣ´´＝ＯＡ×ＯＣ´

　上式を辺々加えると、
　力Ｐのモーメント＋力Ｑのモーメント
　＝ＯＡ×（ＯＢ´＋ＯＣ´）

　四角形ＡＢＤＣは平行四辺形だから、
　ＯＢ´＝Ｃ´Ｄ´より、
　　　　＝ＯＡ×（ＯＢ´＋Ｂ´Ｄ´）
　　　　＝ＯＡ×ＯＤ´
　　　　＝力Ｒのモーメント

1.1.9 一点に作用しない力のつり合い

(a)必要十分条件（図解的）
　　力の多角形が閉じること、かつ、連力図が閉じることが条件となります。

(b)必要十分条件（解析的）
　　Ｒ＝√(（ΣＨ）²+（ΣＶ）²)において、Ｒ＝０になり、
　かつ、ｄ＝ΣＭ/Ｒのｄは無限大とならない。（力が偶力を作らない）
　　すなわち、次の3式が同時に成立することです。
　　　Ｒ＝０ になるためには、

• ΣＨ＝０（水平分力の和が０）
• ΣＶ＝０（鉛直分力の和が０）

ｄ＝ΣＭ/Ｒが無限大にならないためには、

• ΣＭ＝０（モーメントの和が０）

　ΣＭ＝０となる式は、偶力が０となる条件を示すもので、
　この３式をつり合いの３条件式と呼んでいます。

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